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- 高中选修试卷
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- 2017/12/11 21:27:25
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2.1.1 椭圆及其标准方程
课堂导学
三点剖析
一、求椭圆的标准方程
【例1】 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是(-4，0)、(4，0)，椭圆上一点P到两焦点距离的和是10；
(2)两个焦点的坐标是(0，-2)、(0，2)，并且椭圆经过点( ).
解析：(1)∵椭圆的焦点在x轴上，
∴设它的标准方程为 =1(a＞b＞0).
∴2a=10,2c=8,
∴a=5,c=4.
∴b2=a2-c2=52-42=9.
∴所求椭圆的标准方程为 =1.
(2)∵椭圆的焦点在y轴上，
∴设它的标准方程为 =1(a＞b＞0).
由椭圆的定义知，2a=
∴a= .又c=2,∴b2=a2-c2=10-4=6.
∴所求椭圆的标准方程为 =1.
温馨提示
求椭圆的标准方程就是求a2及b2(a＞b＞0),并且判断焦点所在的坐标轴.当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为 =1;当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为 =1.
二、应用椭圆的定义解题
【例2】 一动圆与已知圆O1：(x+3)2+y2=1外切与圆O2：(x-3)2+y2=81内切，试求动圆圆心的轨迹方程.
解析：两定圆的圆心、半径分别为
O1(-3,0),r1=1;O2(3,0)，r2=9.
设动圆圆心为M(x,y)，半径为R
由题设条件知：
｜MO1｜=1+R，｜MO2｜=9-R
∴｜MO1｜+｜MO2｜=10
由椭圆的定义知：M在以O1，O2为焦点的椭圆上，且a=5,c=3,∴b2=a2-c2=25-9=16
故动圆圆心的轨迹方程为 =1
温馨提示
两圆相切时，圆心之间的距离与两圆的半径有关，据此可以找到动圆圆心满足的条件.
三、利用椭圆的标准方程解题
【例3】 椭圆5x2+ky2=5的一个焦点为(0，2)，则k=________.
解析：将椭圆方程化为标准方程可得x2+ =1，由一个焦点为(0，2)知，a2= ,b2=1且a2-b2=c2,
3.3.2 利用导数研究函数的极值
课堂导学
三点剖析
一、求函数极值
【例1】 确定函数f(x)= 在区间［-2,2］上的单调性并求f(x)在区间［-2,2］上的极大值、极小值、最大值和最小值.
解析：由已知得f′(x)= ,令f′(x)=0,解得x=-1或x=1.列出下表：
x -2 (-2,-1) -1 (-1,1) 1 (1,2) 2
f′(x) - 0 + 0 -
f(x) 极小值 极大值
由表可知：f(x)的极小值是f(-1)= ;极大值是f(1)= .
又f(-2)=- ,f(2)= ,
∴f(x)在区间［-2,2］上的最大值是 ，最小值是- .
温馨提示
即函数f(x)= 的定义域为R.又∵ =0,
∴f(x)在R上的最大值与最小值还分别为 和- .
又f(0)=0,
∴函数f(x)= 在R上的值域为［- , ］.
二、极值的应用
【例2】 已知函数f(x)=x3-3ax2+2bx在点x=1处有极小值-1,试确定a、b的值，并求出f(x)的极值.
思路分析：先利用极值点是导函数对应方程的根，以及极值点的两个坐标满足函数关系式列出方程组，即可求出a、b的值，再求函数f(x)的单调区间.
解：由已知，得f(1)=1-3a+2b=-1,
又f′(x)=3x2-6ax+2b①
∴f′(1)=3-6a+2b=0②
由①②得a= ,b=- .
故函数的解析式为f(x)=x3-x2-x.
由此得f′(x)=3x2-2x-1,由二次函数的性质，当x<- 或x>1时，f′(x)>0；当- <x<1时，1.3.2 命题的四种形式
课堂导学
三点剖析
一、四种命题
【例1】 把下列命题写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题：
(1)当x=2时，x2-3x+2=0；
(2)对顶角相等；
(3)末位数是0的整数，可以被5整除.
解析：(1)原命题：若x=2，则x2-3x+2=0.
逆命题：若x2-3x+2=0，则x=2.
否命题：若x≠2，则x2-3x+2≠0.
逆否命题：若x2-3x+2≠0，则x≠2.
(2)原命题：若两个角是对顶角，则它们相等.
逆命题：若两个角相等，则它们是对顶角.
否命题：若两个角不是对顶角，则它们不相等.
逆否命题：若两个角不相等，则它们不是对顶角.
(3)原命题：若一个整数末位数是0，则这个整数可以被5整除.
逆命题：若一个整数可以被5整除，则这个整数末位数是0.
否命题：若一个整数末位数不是0，则这个整数不能被5整除.
逆否命题：若一个整数不能被5整除，则这个整数末位数不是0.
二、四种命题真假性之间的关系
【例2】 判断下列命题的真假，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，同时，判断这些命题的真假.
(1)若a＞b，则ac2＞bc2；
(2)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形；
(3)若在二次函数y=ax2+bx+c中，b2-4ac＜0,则该二次函数图象与x轴有公共点.
解析：(1)该命题为假，∵当c=0时，ac2=bc2.
逆命题：若ac2＞bc2，则a＞b.为真.
否命题：若a≤b，则ac2≤bc2.为真.
逆否命题：若ac2≤bc2，则a≤b.为假.
(2)该命题为真.
逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则四边形的对角互补.为真.
否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形.为真.
逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则四边形的对角不互补.为真.
(3)该命题为假，∵当b2-4ac＜0时，二次方程ax2+bx+c=0没有实数根，因此二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴无公共点.
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