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- 北师大版
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- 必修四课件
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- 2017/11/7 16:07:19
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高中数学第三章三角恒等变换3.3二倍角的三角函数（课件教案学案练习素材）（打包12套）北师大版必修4
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3.3 二倍角的三角函数
常用方法例析
二倍角的三角函数是和、差角的三角函数的特例，其求值，化简，证明的出发点是统一角，统一函数和降低次数。在变形过程中，要注意角与角之间的和、差、倍关系和特殊角之间的关系等。同时还要观察式子的特征，适当选用公式进行化简。这里对几种常用方法举例解析，供同学们参考。
一、逆用公式法：
例1 求sin10°sin30°sin50°sin70°的值。
分析：注意到sin10°sin50°sin70°=cos80°cos40°cos20°,分子分母可同时乘以2sin20°,逆用正弦的二倍角公式求解，也可用变形式作商相消。
解法1 (连续逆用法)sin10°sin30°sin50°sin70°= 12 cos80°cos40°cos20°
= 14sin20° •cos80°cos40°•(2sin20°cos20°)
= 18sin20° •cos80°•(2sin40°cos40°)
= 116sin20° •(2sin80°cos80°) = sin160°16sin20° = 116
解法2 (作商法)sin10°sin30°sin50°sin70°= 12 cos80°cos40°cos20°
= 12 • sin160°2sin80° • sin80°2sin40° • sin40°2sin20° = sin160°16sin20° = 116
评注：①解法1是根据其特点采用同乘同除一个三角函数式，使其构成使用二倍角公式sin2α=2sinαcosα的形式，从而达到求值的目的。解法2用作商相消法可使问题变得简单。
②正弦二倍角的三角函数公式，可以起到转化角的作用。在三角函数的求值、化简和证明过程中，对于角是二倍角关系的余弦函数的连乘积(首项可为正弦)问题均可采用类似的方法解之。总之：方法不拘泥,要注意灵活运用。
1.2 二倍角的三角函数
知识梳理
1.倍角公式
（1）公式：sin2α=2sinαcosα；（S2α）
cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α;（C2α）
tan2α= .（T2α）
（2）公式的理解
①成立的条件：在公式S2α、C2α中，角α可以为任意角，T2α则只有当α≠kπ+ 及α≠ + （k∈Z）时才成立.
②倍角公式不仅限于2α是α的二倍形式，其他如4α是2α的二倍、 是 的二倍、3α是 的二倍等等都是适用的.要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，才能熟练地应用好二倍角公式，这是灵活运用公式的关键.
③cos2α的变形：
cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α，
cos2α= ，sin2α= ；（这两个公式称为降幂公式）
1+cos2α=2cos2α，1-cos2α=2sin2α.（这两个公式称为升幂公式）
2.半角公式
（1）公式：sin =± ；cos =± ；
tan =± .
（2）公式的理解
关于半角正切公式：tan = 不带有根号，而且分母为单项式，运用起来特别方便，但要注意它与以下两个公式：tan =± 和tan = 的使用范围不完全相同，后两个公式只要α≠(2k+1)π（k∈Z），而第一个公式除α≠(2k+1)π（k∈Z）之外，还必须有α≠2kπ（k∈Z）.当然，这三个公式可以互化，在使用时要根据题目中式子的特
3.3 二倍角的正弦、余弦和正切
自主广场
我夯基 我达标
1.若sin2α= ，且α∈（ ， ），则cosα-sinα的值是（ ）
A. B. C.- D.-
思路分析：要求cosα-sinα的值，可以先求(cosα-sinα)2，其展开式中的2sinαcosα就是已知的sin2α，应当注意的是在（ , ）上，cosα<sinα，所以开方时应取负号.
答案：C
2.如果|cosθ|= ， ＜θ＜3π，则sin 的值为（ ）
A. B. C. D.
思路分析：根据 <θ<3π,可知角θ是第二象限角，其余弦值为负，即cosθ=- ，而 < < 为第三象限角，正弦值为负，于是利用半角公式即得结果.
答案：C
3.若 ＜α＜2π，则 等于（ ）
A.cos B.-sin C.-cos D.sin
思路分析：根据本题结构特点，连续两次使用公式1+cos2α=2cos2α，达到脱去根号的目的，这是解这类问题的常规思路.
答案：C
4.(全国高考卷Ⅱ，文10)若f(sinx)=3-cos2x，则f(cosx)为（ ）
A.3-cos2x B.3-sin2x C.3+cos2x D.3+sin2x
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