高中数学一轮复习微专题第1季：等比数列及数列综合（共8份）

高中数学一轮复习微专题第11季等比数列及数列综合
　　高中数学一轮复习微专题第11季等比数列及数列综合：第1节  等比数列概念.doc
　　高中数学一轮复习微专题第11季等比数列及数列综合：第2节 等比数列性质.doc
　　高中数学一轮复习微专题第11季等比数列及数列综合：第3节  等差数列等比数列综合应用.doc
　　高中数学一轮复习微专题第11季等比数列及数列综合：第4节  数列求和之并项求和与分组求和法.doc
　　高中数学一轮复习微专题第11季等比数列及数列综合：第5节  数列求和之倒序相加与错位相减法.doc
　　高中数学一轮复习微专题第11季等比数列及数列综合：第6节  数列求和之裂项相消法.doc
　　高中数学一轮复习微专题第11季等比数列及数列综合：第7节  数列求和之公式求和法.doc
　　高中数学一轮复习微专题第11季等比数列及数列综合：第8节  数列综合问题.doc
　　第1节  等比数列概念
　　【基础知识】
　　1. 等比数列定义
　　一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母 表示 ，即： ,（注意：“从第二项起”、“常数” 、等比数列的公比和项都不为零）
　　2．等比数列通项公式为： .
　　说明：（1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比 时该数列既是等比数列也是等差数列；（2）等比数列的通项公式知：若 为等比数列，则 .
　　3．等比中项
　　如果在 中间插入一个数 ，使 成等比数列，那么 叫做 的等比中项（两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项）
　　4．等比数列前 项和公式
　　一般地，设等比数列 的前n项和是  ，当 时， 或 ；当 时， （错位相减法）.
　　说明：（1）（1） 和 各已知三个可求第四个；（2）注意求和公式中是 ，通项公式中是 不要混淆；（3）应用求和公式时 ，必要时应讨论 的情况.
　　5. 等差数列与等比数列的区分与联系
　　第5节  倒序相加与错位相减法
　　【基础知识】
　　1．倒序相加法：类似于等差数列的前 项和的公式的推导方法，如果一个数列 的前 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前 项和公式即是用此法推导的．
　　2．错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前 项和即可用此法来求，如等比数列的前 项和公式就是用此法推导的．
　　若 ，其中 是等差数列， 是公比为 等比数列，令     ，则  两式错位相减并整理即得.
　　【规律技巧】
　　(1)一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an•bn}的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后作差求解；
　　(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．
　　应用错位相减法求和时需注意：
　　①给数列和Sn的等式两边所乘的常数应不为零，否则需讨论；
　　②在转化为等比数列的和后，求其和时需看准项数，不一定为n.
　　【典例讲解】
　　【例1】已知首项都是1的两个数列{an}，{bn}(bn≠0，n∈N*)满足anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0.
　　(1)令cn＝anbn，求数列{cn}的通项公式；
　　(2)若bn＝3n－1，求数列{an}的前n项和Sn.
　　【解析】(1)因为anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0，bn≠0(n∈N*)，
　　所以an＋1bn＋1－anbn＝2，即cn＋1－cn＝2.
　　所以数列{cn}是以首项c1＝1，公差d＝2的等差数列，故cn＝2n－1.
　　第8节  数列综合问题
　　【基础知识】
　　1. 数列的前 项和：
　　2．数列 的前 项和 和通项 的关系：
　　【规律技巧】
　　1. 数列与不等式的综合问题是近年来的高考热门问题，与不等式相关的大多是数列的前n项和问题，对于这种问题，在解答时需要利用化归的思想将问题转化为我们较熟悉的问题来解决，要掌握常见的解决不等式的方法，以便更好地解决问题．
　　数列与不等式的结合，一般有两类题：一是利用基本不等式求解数列中的最值；二是与数列中的求和问题相联系，证明不等式或求解参数的取值范围，此类问题通常是抓住数列通项公式的特征，多采用先求和后利用放缩法或数列的单调性证明不等式，求解参数的取值范围．
　　以数列为背景的不等式恒成立问题，或不等式的证明问题，多与数列求和相联系，最后利用函数的单调性求解，或利用放缩法证明.
　　解决数列和式与不等式证明问题的关键是求和，特别是既不是等差、等比数列，也不是等差乘等比的数列求和，要利用不等式的放缩法，放缩为等比数列求和、错位相减法求和、裂项相消法求和，最终归结为有限项的数式大小比较．
　　数列与不等式综合的问题是常见题型，常见的证明不等式的方法有：①作差法；②作商法；③综合法；④分析法；⑤放缩法.
　　2. 数列与解析几何交汇问题主要是解析几何中的点列问题，关键是充分利用解析几何的有关性质、公式，建立数列的递推关系式，然后借助数列的知识加以解决．
　　3. 处理探索性问题的一般方法是：假设题中的数学对象存在或结论成立或其中的一部分结论成立，然后在这个前提下进行逻辑推理．若由此导出矛盾，则否定假设，否则，给出肯定结论，其中反证法在解题中起着重要的作用．还可以根据已知条件建立恒等式，利用等式恒成立的条件求解．
　　4. 解答数列综合问题要善于综合运用函数方程思想、化归转化思想等数学思想以及特例分析法，一般递推法，数列求和及求通项等方法来分析、解决问题．数列与解析几何的综合问题解决的策略往往是把综合问题分解成几部分，先利用解析几何的知识以及数形结合得到数列的通项公式，然后再利用数列知识和方法求解．