2016年四川省宜宾市文化培训学校高中数学竞赛试题汇编：函数迭代与函数方程

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约3660字。

【基础知识】
　　1．函数迭代
　　⑴ 函数迭代的定义
　　设 （其中 ）是一个函数，对任意 ，记 ， ，
　　， ，……， ，……，
　　则称 是函数 在 上的 次迭代，并称 是 的迭代指数．
　　如果 有反函数，则记为 ，于是，迭代指数可取所有整数．
　　⑵ 简单的函数迭代
　　求一个函数的 次迭代，是数学竞赛中的一种基本题型．对于一些简单的函数，它的 次迭代是容易得到的．
　　若 ，则 ， ， ．
　　若 ，则 ， ， ．
　　若 ，则 ， ，
　　．
　　⑶ 函数迭代的求法
　　①数学归纳法
　　这里用到的是先猜后证的想法，即先对函数 迭代几次，观察出其规律，然后猜测出
　　的表达式，最后用数学归纳法证之．这种方法只适用于一些较为简单的函数．
　　②递归法
　　设 是定义在 上且取值于 的函数，由此定义数列 ： 已知，且 ，
　　， ．一方面，若已求得 ，则 ，
　　即 通项公式；另一方面，如果已求得 的通项公式 ，则取 ， ，而 ，从而 ，即 的表达式．
　　由上述知，函数的 次迭代可以通过构造数列的方法来解，其步骤为
　　第一步，设 ， ；
　　第二步，由  ，求出 ；
　　第三步， ．
　　③相似法
　　相似法是求函数 的 次迭代的一个重要方法．若存在一个函数 以及它的反函数
　　，使得 ，我们就称 通过 和 相似，简称 和 相似，记为 ，其中 称为桥函数．
　　相似关系是一个等价关系，也就是说它满足：
　　自身性， ；
　　对称性，若 ，则 ；
　　传递性，若 ， ，则 ．
　　如果 与 相似，即 ，
　　那么 ，  ， ．
　　这样一来，我们便把 的迭代问题转化为 的迭代问题．
　　④不动点法
　　关于 的方程 的根称为 的不动点．不动点法的基本思想是根据函数的不动点得出桥函数的一个性质，进而确定桥函数的形状，然后利用相似法求出函数的 次迭代．
　　函数的不动点具有如下的性质：
　　若 是 的不动点，则 ，即 也是 的不动点．
　　设 ，因此有 ，若 ，则有 ，即 是 的不动点．
　　对于一些简单的函数，利用不动点，把函数变形后再迭代，最后用数学归纳法证之，会使计算简单些．
　　利用不动点找桥函数的方法：由不动点的性质知，桥函数 具有下列性质：它将 的不动点 映成 的不动点 ，通常为了便于求解 ， 通常为 ， ， ， 等．
　　2．函数方程
　　⑴ 函数方程的定义
　　解为函数的方程为函数方程．例如 等都是函数方程．
　　⑵ 函数方程解法
　　寻求函数方程的解或证明函数方程无解的过程叫作解函数方程，一般有以下几种方法：
　　①代换法
　　代换法是解函数方程的常用手段，其基本思想是：将函数方程中的自变量适当地以别的自变量代换（当然在代换时应特别注意函数的定义域不能发生变化），得到一个新的函数方程，然后设法求得未知数．如 ，令 ，则 ，于是
　　，即 ，经检验它是函数方程的解．