天津市第一中学2015-2016学年高二数学（理）必修2期中复习练习卷

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约1560字。

必修二 期中复习
　　一、立体几何  （A）
　　1．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝4，BC＝3，AD＝5，∠DAB＝∠ABC＝90°，E是CD的中点．
　　(1)证明：CD⊥平面PAE；
　　(2)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P－ABCD的体积．
　　(1)如图所示，连接AC，由AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，得AC＝5.
　　又AD＝5，E是CD的中点，所以CD⊥AE.
　　∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD.
　　而PA，AE是平面PAE内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE.
　　(2)过点B作BG∥CD，分别与AE，AD相交于F，G，连接PF.
　　由(1)CD⊥平面PAE知，BG⊥平面PAE.于是∠BPF为直线PB与平面PAE所成的角，且BG⊥AE.
　　由PA⊥平面ABCD知，∠PBA为直线PB与平面ABCD所成的角．
　　AB＝4，AG＝2，BG⊥AF，由题意，知∠PBA＝∠BPF，
　　因为sin∠PBA＝PAPB，sin∠BPF＝BFPB，所以PA＝BF.
　　由∠DAB＝∠ABC＝90°知，AD∥BC，又BG∥CD，所以四边形BCDG是平行四边形，故GD＝BC＝3.于是AG＝2.
　　在Rt△BAG中，AB＝4，AG＝2，BG⊥AF，所以
　　BG＝AB2＋AG2＝25，BF＝AB2BG＝1625＝855.于是PA＝BF＝855.
　　又梯形ABCD的面积为S＝12×(5＋3)×4＝16，所以四棱锥P－ABCD的体积为
　　V＝13×S×PA＝13×16×855＝128515.
　　2．如图,四棱锥 中, 与 都是等边三角形.
　　(I)证明:         (II)求二面角 的平面角的余弦值.
　　3．如图所示，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝22，M为BC的中点．
　　(1)证明：AM⊥PM；
　　(2)求二面角P－AM－D的大小．
　　[解析]　 (1)证明：如图所示，取CD的中点E，连接PE，EM，EA，
　　∵△PCD为正三角形，
　　∴PE⊥CD，PE＝PDsin∠PDE＝2sin60°＝3.
　　∵平面PCD⊥平面ABCD，
　　∴PE⊥平面ABCD，而AM⊂平面ABCD，∴PE⊥AM.