二次函数、基本初等函数及函数的应用测试题

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约3780字。
　　第3讲　二次函数、基本初等函数及函数的应用
　　自主学习导引
　　真题感悟
　　1．函数y＝ax－1a(a＞0，且a≠1)的图象可能是
　　解析　利用指数函数的图象与性质解答．
　　当a＞1时，y＝ax－1a为增函数，且在y轴上的截距为0＜1－1a＜1，排除A，B.
　　当0＜a＜1时，y＝ax－1a为减函数，且在y轴上的截距为1－1a＜0，故选D.
　　答案　D
　　2．函数f(x)＝xcos 2x在区间[0,2π]上的零点的个数为
　　A．2 B．3 C．4  D．5
　　解析　分别判断y＝x和y＝cos 2x的零点．
　　y＝x在[0,2π]上的零点为x＝0，y＝cos 2x在[0,2π]上的零点x＝π4，3π4，5π4，7π4，所以f(x)在区间[0,2π]上的零点个数为5.
　　答案　D
　　考题分析
　　对于基本初等函数，高考主要考查其图象与性质，题目较容易；基本初等函数的应用、函数与方程是近几年高考的热点，考查内容一般为函数的实际应用题、函数零点个数的判定或根据零点的个数求参数的范围．题型一般为选择题或填空题，难度中等．
　　网络构建
　　高频考点突破
　　考点一：二次函数
　　【例1】已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]．
　　(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；
　　(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数．
　　[审题导引]　(1)把二次函数式配方并求其最值；
　　(2)利用对称轴与区间的位置关系求a的取值范围．
　　[规范解答]　(1)当a＝－1时，
　　f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[－5,5]，
　　∴x＝1时，f(x)取得最小值1；
　　x＝－5时，f(x)取得最大值37.
　　(2)函数f(x)＝(x＋a)2＋2－a2的图象的对称轴为直线x＝－a，
　　∵y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数，
　　∴－a≤－5或－a≥5.
　　故a的取值范围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)．
　　【规律总结】
　　二次函数最值的求法
　　求二次函数在某段区间上的最值时，要利用好数形结合，特别是含参数的两种类型：“定轴动区间，定区间动轴”的问题，抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指的是对称轴．
　　【变式训练】