2013全国高中数学竞赛广东预赛区试题

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共11道小题，约880字。

　　2013全国高中数学竞赛广东预赛区
　　一、填空题（每小题8分，满分64分）
　　1、已知 ，则 _______.
　　解：0或
　　已知两式平方相加，得 或
　　0或
　　2、不等式 的解集为_________.
　　解：
　　原不等式等价于
　　设 ，则 在R上单调增.
　　所以，原不等式等价于
　　3、已知 ( 表示不超过x的最大整数)，设方程 的两个不同实数解为 ，则 __________.
　　解： .
　　由于 ，所以
　　当 时，原方程即 ；
　　当 时，原方程即 .
　　4、在平面直角坐标系中，设点 ，一只虫子从原点O出发，沿 轴正方向或 轴正方向爬行（该虫子只能在整点处改变爬行方向），到达终点A的不同路线数目记为 . 则 _______.
　　解：
　　猜测 ，可归纳证明.
　　5、将一只小球放入一个长方体容器内，且与共点的三个面相接触．若小球上一点P到这三个面的距离分别为4、5、5，则这只小球的半径为___________.
　　解：3或11.
　　分别以三个面两两的交线为 轴、 轴、 轴，建立空间直角坐标系.
　　设点P坐标为 ，小球圆心O坐标为
　　所以，
　　6、将 表示成两个 型分数的乘积的不同方法数是________.（其中 与 是同一种表示方法）
　　解：24.
　　设 是正整数，满足
　　的正因数的个数为 .
　　注意到 与 是相同的表示方法，故所求的方法数为 .
　　7、设E为正方形ABCD边AB的中点，分别在边AD、BC上任取两点P、Q，则∠PEQ为锐角的概率为__________.
　　解：
　　设正方形边长为1， .
　　则
　　从而， . 又 .
　　故所求概率为两直线 及曲线 所围成图形的面积与边长为1的正方形的面积之比，即