三角函数典型例题

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共30小题，约2730字。

　　三角函数典型例题
　　1 ．设锐角 的内角 的对边分别为 , .
　　(Ⅰ)求 的大小;
　　(Ⅱ)求 的取值范围.
　　【解析】:(Ⅰ)由 ,根据正弦定理得 ,所以 ,
　　由 为锐角三角形得 .
　　(Ⅱ)
　　.
　　2 ．在 中,角A． B．C的对边分别为a、b、c,且满足(2a-c)cosB=bcos C．
　　(Ⅰ)求角B的大小;
　　(Ⅱ)设 且 的最大值是5,求k的值. 
　　【解析】:(I)∵(2a-c)cosB=bcosC,
　　∴(2sinA-sinC)cosB=sinBcos C．
　　即2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB
　　=sin(B+C)
　　∵A+B+C=π,∴2sinAcosB=sinA．
　　∵0<A<π,∴sinA≠0.
　　∴cosB= .
　　∵0<B<π,∴B= .
　　(II) =4ksinA+cos2A．
　　=-2sin2A+4ksinA+1,A∈(0, )
　　设sinA=t,则t∈ .
　　则 =-2t2+4kt+1=-2(t-k)2+1+2k2,t∈ .
　　∵k>1,∴t=1时, 取最大值.
　　依题意得,-2+4k+1=5,∴k= .
　　3 ．在 中,角 所对的边分别为 , .
　　I.试判断△ 的形状;
　　II.若△ 的周长为16,求面积的最大值.
　　【解析】:I.
　　,所以此三角形为直角三角形.
　　II. , 当且仅当 时取等号,
　　此时面积的最大值为 .
　　4 ．在 中,a、b、c分别是角A． B．C的对边,C=2A, ,
　　(1)求 的值;
　　(2)若 ,求边AC的长｡
　　【解析】:(1)
　　(2)   ①
　　又    ②
　　由①②解得a=4,c=6
　　,即AC边的长为5.
　　5 ．已知在 中, ,且 与 是方程 的两个根.
　　(Ⅰ)求 的值;
　　(Ⅱ)若AB ,求BC的长.
　　【解析】:(Ⅰ)由所给条件,方程 的两根 .       
　　∴                                                          
　　(Ⅱ)∵ ,∴ .
　　由(Ⅰ)知, ,
　　∵ 为三角形的内角,∴ 
　　∵ , 为三角形的内角,∴ ,
　　由正弦定理得:                                     
　　∴ .
　　6 ．在 中,已知内角A． B．C所对的边分别为a、b、c,向量 , ,且 ｡
　　(I)求锐角B的大小;
　　(II)如果 ,求 的面积 的最大值｡
　　【解析】:(1)     2sinB(2cos2B2-1)=-3cos2B
　　2sinBcosB=-3cos2B    tan2B=-3 
　　∵0<2B<π,∴2B=2π3,∴锐角B=π3 
　　(2)由tan2B=-3    B=π3或5π6
　　①当B=π3时,已知b=2,由余弦定理,得:
　　4=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac(当且仅当a=c=2时等号成立) 
　　∵△ABC的面积S△ABC=12 acsinB=34ac≤3
　　∴△ABC的面积最大值为3 
　　②当B=5π6时,已知b=2,由余弦定理,得:
　　4=a2+c2+3ac≥2ac+3ac=(2+3)ac(当且仅当a=c=6-2时等号成立)
　　∴ac≤4(2-3) 
　　∵△ABC的面积S△ABC=12 acsinB=14ac≤ 2-3
　　∴△ABC的面积最大值为2-3 
　　7 ．在 中,角A． B．C所对的边分别是a,b,c,且
　　(1)求 的值;
　　(2)若b=2,求△ABC面积的最大值.
　　【解析】:(1) 由余弦定理:cosB=14
　　+cos2B=  
　　(2)由  ∵b=2,
　　+ =12ac+4≥2ac,得ac≤ ,     S△ABC=12acsinB≤ (a=