2013年全国初中数学竞赛试题

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共14道小题，约1740字。

　　2013年全国初中数学竞赛试题 
　　一．选择题（5×7'=35'）
　　1.对正整数n，记n！=1×2×...×n,则1!+2!+3!+...+10!的末位数是(   )．
　　A．0   B．1   C．3   D．5
　　【分析】 时， ！的个位数均为0，只考虑前4个数的个位数之和即可，1+2+6+4=13，故式子的个位数是3.　本题选C．
　　2.已知关于x的不等式组 恰好有5个整数解，则t的取值范围是(   )．
　　【分析】 ，则5个整数解是 ．
　　注意到 时，只有4个整数解．所以 ，本题选C
　　3.已知关于x的方程 恰好有一个实根，则实数a的值有(   )个．
　　A．1      B．2     C．3     D．4
　　【分析】 ，下面先考虑增根：
　　ⅰ）令 ，则 ，当 时， （舍）；
　　ⅱ）令 ，则 ，当 时， （舍）；
　　再考虑等根：
　　ⅲ）对 ， ，当 .
　　故 ， 共3个.本题选C．
　　4.如图，已知△ABC的面积为24，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BC=4CF，DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为(   )．
　　A．3     B．4      C．5     D．6
　　【分析】设 底边 上的高为 ，则 ，
　　本题选D． 
　　5.在分别标有号码2,3,4,...,10的9个球中，随机取出两个球，记下它们的标号，则较大标号被较小标号整除的概率是(   )．
　　【分析】     本题选B．
　　二．填空题（5×7'=35'）
　　6.设 ，b是a2的小数部分，则 的值为          ．
　　【分析】考虑到 ，则
　　则
　　7.一个质地均匀的正方体的六个面上分别标有数1、2、3、4、5、6．掷这个正方体三次，则其朝上的面的数的和为3的倍数的概率是          ．
　　【分析】对第一次向上面为1时，后面两次所得数字与1的和是3的倍数有111，114，123，126，132，135，141，144，153，156，162，165共12种；对于首次掷得向上的面是2，3，4，5，6的，后面两次与首次的和为3的倍数是轮换对称的，故和为3的倍数共有 ，而总次数是 次，则其概率为 .
　　8.已知正整数a、b、c满足a+b2-2c-2=0,3a2-8b+c=0，则abc的最大值为          ．