2007-2010年高中数学竞赛试题分类汇编之三角函数和向量

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共19题，约2030字。

　　高中数学竞赛（07-10年）试题分类汇总——三角、向量
　　一、选择题
　　1.（07全国）设函数f(x)=3sinx+2cosx+1。若实数a、b、c使得af(x)+bf(x−c)=1对任意实数x恒成立，则 的值等于（    ）
　　A.          B.        C. −1       D. 1
　　解：令c=π，则对任意的x∈R，都有f(x)+f(x−c)=2，于是取 ，c=π，则对任意的x∈R，af(x)+bf(x−c)=1，由此得 。
　　一般地，由题设可得 ， ，其中 且 ，于是af(x)+bf(x−c)=1可化为
　　，即
　　，所以
　　。
　　由已知条件，上式对任意x∈R恒成立，故必有 ，
　　若b=0，则由(1)知a=0，显然不满足(3)式，故b≠0。所以，由(2)知sinc=0，故c=2kπ+π或c=2kπ(k∈π时，cosc=1，则(1)、(3)两式矛盾。故c=2kπ+π(k∈Z)，cosc=−1。由(1)、(3)知 ，所以 。
　　2.（08全国） 中，边 成等比数列，则 的取值范围是（ C ）
　　A.                             B.  
　　C.                      D. 
　　[解] 设 的公比为 ，则 ，而
　　．
　　因此，只需求 的取值范围．
　　因 成等比数列，最大边只能是 或 ，因此 要构成三角形的三边，必需且只需 且 ．即有不等式组
　　即
　　解得
　　从而 ，因此所求的取值范围是 ．
　　3．（08江苏）如果 的三个内角的余弦值分别是 的三个内角的正弦值，那么                                                                  答：[B]
　　A.  与 都是锐角三角形
　　B.  是锐角三角形， 是钝角三角形
　　C.  是钝角三角形， 是锐角三角形