2012年江苏省南京数学学校“紫金杯”数学竞赛试题

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共14道小题，约1490字。

　　2012年南京数学学校“紫金杯”数学竞赛试题及答案
　　说明： 1．评阅试卷时，请依据本评分标准．填空题只设7分和0分两档。请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．
　　2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分．
　　一.填空题（本题满分70分，每小题7分）
　　1.若复数 （ 为虚数单位）为纯虚数，则实数 的值为        
　　2.已知 则 的值 为          
　　解 
　　3. 若 是R上的单调递增函数，则实数 的取值范围为
　　解 因为 是R上的增函数，所以 解得 ＜8.
　　4. 设 为两个不重合的平面， 是不重合的直线，给出下列命题，其中正确的序号是                  
　　① 若 则 ∥ ；② 若  相交不垂直，则n与m不垂直；③ 若 ，则 ；④ m是平面 的斜线，n是m在平面 内的射影，若 ，则 ．
　　5. 方程 的实数解为                ．
　　提示与答案：x＜0无解; 当 时，原方程变形为32x+3x－6=0，解得3x=2，x=log32．
　　6.在 ABC中． .则A的取值范围是        
　　解析：由题意正弦定理 .
　　7. 设 是双曲线 的两个焦点， 在双曲线上，若 （ 为半焦距），则双曲线的离心率为
　　8. 已知数列 中， ，且  ．
　　则数列 的通项公式为            
　　解：由题 知，  ，
　　由累加法，当 时，
　　代入 ，得 时，
　　又 ，故
　　9.将一个 棋盘中的8个小方格染成黑色,使得每行、每列都恰有两个黑色方格，
　　则有               不同的染法.（用数字作答）
　　解：第一行染2个黑格有 种染法.第一行染好后，有如下三种情况：
　　（1）第二行染的黑格均与第一行的黑格同列，这时其余行都只有一种染法；
　　（2）第二行染的黑格与第一行的黑格均不同列，这时第三行有 种染法，第四行的染法随之确定；
　　（3）第二行染的黑格恰有一个与第一行的黑格同列，这样的染法有4种，而在第一、第二这两行染好后，第三行染的黑格必然有1个与上面的黑格均不同列，这时第三行的染法有2种，第四行的染法随之确定.
　　因此，共有染法为 种.填90.