2012年北京大学保送生考试数学试题

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共5题，约430字。

　　2012年北京大学保送生考试数学试题及参考答案
　　1． 已知数列 为正项等比数列，且 ，求 的最小值．
　　解：设数列 的公比为 ，则 ，
　　．由 知 ．
　　，
　　当且仅当 即 时， 有最小值 ．
　　2．已知 为二次函数，且 成正项等比数列，求证： ．
　　证法一：设 ，数列 的公比为 ，
　　则 ，
　　①    ②     ③
　　① ②得 ，
　　② ③得 ．
　　若 ，则 ；
　　若 ，则 与 矛盾． ．
　　证法二：由 成等比数列得 ，
　　．
　　三点 满足 ，
　　三点共线，与 三点在抛物线上矛盾， ．
　　3．称四个顶点都落在三角形三边上的正方形叫三角形的内接正方形．若锐角三角形 的三边满足 ，证明：这个三角形的内接正方形边长的最小值为 ．
　　解：如图所示，设正方形 的边长为 ， ，
　　， ．
　　同理可得其它两用人才种情况下内接正方形边长为
　　．
　　， ，
　　这个三角形的内接正方形边长的最小值为 ．