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- 2010/12/21 11:14:29
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立体几何中的向量方法（一）平行与垂直关系的向量证法.doc
立体几何中的向量方法 （二）利用向量方法求角.doc
立体几何中的向量方法 （三）利用向量方法求距离.doc
立体几何中的向量方法.doc
§3.2 立体几何中的向量方法 (一)
—— 平行与垂直关系的向量证法
知识点一 求平面的法向量
已知平面α经过三点A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2，0)，试求平面α的一个法向量．
解 ∵A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，
＝(1，－2，－4)，AC→＝(1，－2，－4)，
设平面α的法向量为n＝(x，y，z)．
依题意，应有n• = 0， n•AC→ = 0.
即x－2y－4z＝02x－4y－3z＝0，解得x＝2yz＝0.令y＝1，则x＝2.
∴平面α的一个法向量为n＝(2,1,0)．
【反思感悟】 用待定系数法求平面的法向量，关键是在平面内找两个不共线向量，列出方程组，取其中一组解(非零向量)即可．
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，DC的中点，求证： 是平面A1D1F的法向量.
证明 设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则 是平面A1D1F的法向量．
证明
设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则
A(1,0,0)，E1，1，12，
＝0，1，12. .D1＝(0,0,1)，
F0，12，0，A1(1,0,1)．
＝0，12，－1，A1D1→＝(－1,0,0)．
∵ • ＝0，1，12•0，12，－1＝12－12＝0，
•A1D1→＝0，∴ ⊥A1D1→.又A1D1∩D1F＝D1，
∴AE⊥平面A1D1F，∴ 是平面A1D1F的法向量．
知识点二 利用向量方法证平行关系
在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，求证：B1C∥平面ODC1.
证明 方法一 ∵ = ，
∴ B
∴B1C∥A1D，又A1D 面ODC1，
∴B1C∥面ODC1.
方法二 ∵ = +
= + + + = + .
∴ ， ， 共面.
又B1C 面ODC1，∴B1C∥面ODC1.
方法三
建系如图，设正方体的棱长为1，则可得
B1(1,1,1)，C(0,1,0)，
O12，12，1，C1(0,1,1)，
＝(－1,0，－1)，
＝－12，－12，－1，
＝－12，12，0.
设平面ODC1的法向量为n＝(x0，y0，z0)，
则 得－12x0－12y0－z0＝0 ①－12x0＋12y0＝0 ②
令x0＝1，得y0＝1，z0＝－1，∴n＝(1,1，－1)．
又 •n＝－1×1＋0×1＋(－1)×(－1)＝0，
∴ ⊥n，∴B1C∥平面ODC1.
【反思感悟】 证明线面平行问题，可以有三个途径，一是在平面ODC1内找一向量与 共线；二是说明 能利用平面ODC1内的两不共线向量线性表示，三是证明 与平面的法向量垂直．
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