《几何证明选讲》学案

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约2950字。

　　《几何证明选讲》学案
　　基础自测
　　1.如图所示，已知在△ABC中，∠C=90°，正方形DEFC
　　内接于△ABC，DE∥AC，EF∥BC，
　　AC=1，BC=2，则AF∶FC=       .
　　答案  
　　2.从不在⊙O上的一点A作直线交⊙O于B、C，且AB•AC=64，OA=10，则⊙O的半径等
　　于          .
　　答案  2 或6
　　3.设P为△ABC内一点，且 =  +  ，则△ABP的面积与△ABC的面积之比等于    .
　　答案  
　　4.如图所示，AC为⊙O的直径，BD⊥AC于P，PC=2，PA=8，
　　则CD的长为         ，cos∠ACB=        .
　　答案  2   
　　5.如图所示，PA与圆O相切于A，PCB为圆O的割线，并且不过圆心O，
　　已知∠BPA=30°，PA=2 ，PC=1，则圆O的半径等于        .
　　答案  7
　　例1  已知：如图所示，以梯形ABCD的对角线AC及腰AD为
　　邻边作平行四边形ACED，连接EB，DC的延长线交BE于F.
　　求证：EF=BF.
　　证明  连接AE交DC于O.
　　∵四边形ACED为平行四边形，
　　∴O是AE的中点（平行四边形对角线互相平分）.
　　∵四边形ABCD是梯形，
　　∴DC∥AB.
　　在△EAB中，OF∥AB，O是AE的中点，
　　∴F是EB的中点，即EF=BF.
　　例2  如图所示，在△ABC中，AD为BC边上的中线，F为AB
　　上任意一点，CF交AD于点E.求证：AE•BF=2DE•AF.
　　证明  过点D作AB的平行线DM交A，交FC于点N.
　　在△BCF中，D是BC的中点，
　　DN∥BF，∴DN= BF.
　　∵DN∥AF，∴△AFE∽△DNE，
　　∴ = .
　　又DN= BF，∴ = ，
　　即AE•BF=2DE•AF.
　　例3  （2008•苏、锡、常、镇三检）自圆O外一点P引切线与圆切于点A，
　　M为PA的中点，过M引割线交圆于B，C两点.
　　求证：∠MPB.
　　证明  ∵PA与圆相切于A，
　　∴MA2=MB•MC，
　　∵M为PA中点，∴PM=MA，
　　∴PM2=MB•MC，∴ = .
　　∵∠BMP=∠PMP∽△PMC，
　　∴∠MPB.
　　例4  （14分）如图所示，AB是⊙O的直径，G为AB延长线
　　上的一点，GCD是⊙O的割线，过点G作AB的垂线，交AC的
　　延长线于点E，交AD的延长线于点F，过G作⊙O的切线，切
　　点为H.
　　求证：（1）C，D，F，E四点共圆；
　　（2）GH2=GE•GF.
　　证明  （1）连接BC.∵AB是⊙O的直径，
　　∴∠ACB=90°.
　　∵AG⊥FG，∴∠AGE=90°.
　　又∠EAG=∠BAC，
　　∴∠ABC=∠AEG.
　　又∠FDC=∠ABC，
　　∴∠FDC=∠AEG.
　　∴∠FDC+∠CEF=180°.
　　∴C，D，F，E四点共圆.                                                     7分
　　（2）∵GH为⊙O的切线，GCD为割线，
　　∴GH2=GC•GD.
　　由C，D，F，E四点共圆，
　　得∠GCE=∠AFE，∠GEC=∠GDF.
　　∴△GCE∽△GFD.∴ = ，
　　即GC•GD=GE•GF.
　　∴CH2=GE•GF.                                                            14分
　　例5  （2008•徐州三检）如图所示，圆O是△ABC的外接圆，过点C的切线交AB的延长线于点D，CD=2 ，AB=BC=3.求BD以及AC的长.