九年级数学下册解直角三角形复习习题例解

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约6070字。　　21 解直角三角形复习练习
　　航海问题及其解法
　　在近几年的中考试题中，利用解直角三角形的知识解决有关航海的问题层出不穷，常见的类型主要有以下几种：
　　一、求距离
　　例1．　台湾“华航”客机失事后，祖国大陆海上搜救中心立即通知位于A、B两处的上海救捞局所属专业救助轮“华意”轮、沪救12”轮前往出事地点协助搜救．接到通知后，“华意”轮测得出事地点C在A的南偏东60°，“沪救12”轮测得出事地点C在B的南偏东30°．已知B在A的正东方向，且相距100海里，分别求出两船到达出事地点C的距离．如图1．
　　分析    读懂题目，弄清与方位有关的词语，在△ABC中正确写出已知条件是解题的关键，依题意知△ABC是顶角为150°的等腰三角形，过点B作底边上的高，不难求出BC、AC的长．
　　解：作BD⊥AC，依题意知∠ABC＝120°，∠BAC＝30°，
　　∴BC＝AB＝100海里．在Rt△BDC中，∴∠C＝30°，
　　∴DC＝BC•Cos30°＝50  ．
　　∴AC＝100 ．
　　说明    本题是三角函数的应用问题，其实质上是用解直角三角形的知识解斜三角形的问题，如何把斜三角形的问题转化为直角三角形的问题，只要弄清题意，理解关键字词的含义，把实际问题转化为数学问题，方能正确作出辅助线，构造直角三角形求解．
　　二、求速度
　　例2．　甲、乙两船同时从港口O出发，甲船以16.1海里小时的速度向东偏南32°方向航行，乙船向西偏南58°方向航行，航行了两小时，甲船到达A处并观测到B处的乙船恰好在其正西方向．求乙船的速度v（精确到0.1海里／小时）．     
　　（参考数据：  sin32°＝0.53，Cos32°＝0.85，tAn32°＝0.62，Cot32°＝1.60）
　　分析    由题意知∠AOB＝90°，要求乙船的速度，得先求OB的长．
　　解     由题意可得：OA＝16．1×2＝32.2（海里）， ∠1＝32°，∠2＝58°．
　　∴∠AOB＝180°－（∠1＋∠2）＝90°．
　　由B在A的正西方向，可得∠A＝∠1＝32°．
　　又∵在Rt△AOB中，tAnA＝ ，
　　∴OB＝OA•tAnA＝32.2×0.62＝19.964．
　　∴v＝ ＝19.964÷2＝9.982≈10.0（海里／小时）．
　　三、确定航行方向
　　例3．　如图3，海中有一小岛P，在其距8 海里范围内有暗礁，一轮船自西向东航行，它在A处时测得小岛P位于北偏东60°，且A、P之间的距离为16海里，若轮船继续向东方向航行，请计算轮船有无触礁的危险，如有危险，轮船自A处开始至少沿东偏南多少度方向航行，才能安全通过这一海域．
　　解    依题意画出航行图，如图3，由P向A的正东方向作垂线PB，垂足为B．
　　由∠PAB＝30°，得 PB＝ AP＝8．
　　因为8＜8 ，故有触礁的危险．
　　为了安全，应改变航行方向，并且保证P点到航向的距离不能小于暗礁的半径8 ，即这个距离至少等于8 ．
　　设安全航向为AD，做PC⊥AD于C，