《空间向量及其运算》学案

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约3760字。　　
　　《空间向量及其运算》学案
　　●知识梳理
　　空间两个向量的加法、减法法则类同于平面向量，即平行四边形法则及三角形法则.
　　a•b=|a||b|cos〈a，b〉.
　　a2=|a|2.
　　a与b不共线，那么向量p与a、b共面的充要条件是存在实数x、y，使p=xa+yb.
　　a、b、c不共面，空间的任一向量p，存在实数x、y、z，使p=xa+yb+zc.
　　●点击双基
　　1.在以下四个式子中正确的有
　　a+b•c，a•（b•c），a（b•c），|a•b|=|a||b|
　　A.1个       B.2个       C.3个       D.0个
　　解析：根据数量积的定义，b•c是一个实数，a+b•c无意义.实数与向量无数量积，故a•（b•c）错，|a•b|=|a||b||cos〈a，b〉|，只有a（b•c）正确.
　　答案：A
　　2.设向量a、b、c不共面，则下列集合可作为空间的一个基底的是
　　A.{a+b，b－a，a}       B.{a+b，b－a，b}
　　C.{a+b，b－a，c}       D.{a+b+c，a+b，c}
　　解析：由已知及向量共面定理，易得a+b，b－a，c不共面，故可作为空间的一个基底，故选C.
　　答案：C
　　3.在平行六面体ABCD—A′B′C′D′中，向量 、 、 是
　　A.有相同起点的向量      B.等长的向量
　　C.共面向量        D.不共面向量
　　解析：∵ － = = ，
　　∴ 、 、 共面.
　　答案：C
　　4.已知a=（1，0），b=（m，m）（m＞0），则〈a，b〉=_____________.
　　答案：45°
　　5.已知四边形ABCD中， =a－2c， =5a+6b－8c，对角线AC、BD的中点分别为E、F，则 =_____________.
　　解析：∵ = + + ，
　　又 = + + ，
　　两式相加，得2 =（ + ）+（ + ）+（ + ）.
　　∵E是AC的中点，
　　故 + =0.同理， + =0.
　　∴2 =  + =（a－2c）+（5a+6b－8c）=6a+6b－10c.∴ =3a+3b－5c.
　　答案：3a+3b－5c
　　●典例剖析
　　【例1】 证明空间任意无三点共线的四点A、B、C、D共面的充分必要条件是：对于空间任一点O，存在实数x、y、z且x+y+z=1，使得 =x +y  +z .