3.2《均值不等式》教案

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　　约860字 3.2 均值不等式 教案
　　教学目标：
　　推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理.
　　利用均值定理求极值.
　　了解均值不等式在证明不等式中的简单应用
　　教学重点：
　　推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理
　　利用均值定理求极值
　　教学过程
　　一、复习：
　　1、复习不等式的性质定理及其推论
　　1：a>b b<a
　　2：a>b,b>c a>c(或c<b,b<a c<a)(传递性)
　　3：a>b a+c>b+c(或a<b a+c<b+c)
　　(1)：a+b>c a>c-b(移项法则)
　　(2)：a>b,c>d a+c>b+d
　　4、若a>b,且c>0，那么ac>bc；若a>b,且c<0，那么ac<bc.
　　(1)、若a>b>0,且c>d>0，则ac>bd
　　(2)、若a>b>0,则an>bn (n∈ ,且n>1)
　　(3)、若a>b>0,则  (n∈ ,且n>1)
　　2、定理变式： 如果a,b∈R，那么a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时，等号成立）
　　3、均值定理：如果a,b是正数，那么 
　　证明：∵ 
　　，即 
　　显然，当且仅当 
　　说明：ⅰ）我们称 的算术平均数，称 的几何平均数，因而，此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 
　　ⅱ） 成立的条件是不同的：前者只要求a,b都是实数，而后者要求a,b都是正数 
　　ⅲ）“当且仅当”的含义是等价 
　　3．均值定理的几何意义是“半径不小于半弦” 
　　以长为a+b的线段为直径作圆，在直径AB上取点C，使AC=a,CB=b 过点C作垂直于直径AB的弦DD′,那么 ，即